Hexaflexagone (1939) — Des chutes de cahier qui cachaient une face

Introduction — Un hexagone né de chutes de papier

C'est un passe-temps de papier apparu en 1939 à l'université de Princeton, aux États-Unis. Pliez une longue bande de papier selon un schéma précis et vous obtenez un hexagone. Repliez-le, et une face cachée vient à l'avant.

On l'appelle flexagone, mot-valise de « flex » et « polygone ». Il ne faut que du papier et de la colle.

Il fut découvert par Arthur Stone, étudiant anglais en troisième cycle. Avec ses collègues, il en fit ensuite des mathématiques.

Un hexagone de papier dont les faces changent quand on le plie (illustration, générée par IA)

Contexte — Un cahier trop petit et un comité de quatre

Tout commença par une différence de format de papier. Le papier anglais de Stone n'entrait pas dans son classeur américain. Il en rogna les bords et se mit à plier les bandes étroites. Cette première forme était le trihexaflexagone, qui a trois faces.

Des collègues se joignirent à lui : Bryant Tuckerman, Richard Feynman et John Tukey. Les quatre furent appelés le Comité des flexagones. Feynman reçut plus tard le prix Nobel de physique, et Tukey devint une figure majeure de la statistique.

Tuckerman imagina une méthode pour faire apparaître toutes les faces cachées, aujourd'hui nommée parcours de Tuckerman. Une théorie complète aurait été élaborée en 1940 par Tukey et Feynman.

Cette théorie ne fut pas publiée aussitôt. Un exposé ordonné parut bien plus tard : près de vingt ans séparent le jeu de sa mise par écrit.

Des bandes de papier découpées dans un cahier en 1939 (illustration, générée par IA)

Mécanique — Plier, ouvrir, chercher la face cachée

La forme de base est une bande de papier faite de triangles reliés, que l'on plie en hexagone régulier. Le trihexaflexagone a trois faces ; l'hexahexaflexagone, apparu plus tard, en a six.

Le jeu est simple : plier l'hexagone et ouvrir son centre. Une face invisible apparaît. Répéter le même geste ne fait pas toujours défiler les faces dans un ordre fixe.

C'est le cœur du jeu. On ne sait pas quelle face viendra avant d'agir, et certaines faces sont difficiles à atteindre par le pliage ordinaire.

Le joueur cherche donc des états encore jamais vus. La méthode de Tuckerman a tracé un chemin dans cette recherche. C'est ma lecture personnelle, mais elle se rapproche de la logique des puzzles d'exploration d'états venus ensuite.

De la bande à l'hexagone, puis à une nouvelle face (schéma, illustration générée par IA)

Filiation — D'une chronique de magazine à un brevet, puis à la vidéo

Celui qui fit connaître largement les flexagones est Martin Gardner. Il leur consacra un article dans le numéro de décembre 1956 de Scientific American. Gardner aurait interrogé Tukey et Tuckerman à Princeton.

L'article eut un grand écho. La chronique « Mathematical Games », qui dura ensuite 25 ans, aurait commencé avec lui. Un passe-temps de papier devint une porte d'entrée pour les lecteurs qui aiment les mathématiques.

Il servit aussi de produit. Un document indique qu'en 1955, une entreprise d'ingénierie utilisa des hexaflexagones pour annoncer son banquet de remise de distinctions. En 1959, un brevet américain fut accordé pour l'hexahexaflexagone.

En 1962, Conrad et Hartline rédigèrent un rapport de niveau mathématique. Ces dernières années, beaucoup l'ont découvert grâce aux vidéos de la mathématicienne Vi Hart. Le jeu peut toujours commencer avec une seule feuille.

La filiation d'un passe-temps de papier vers les mathématiques et le grand public (illustration, générée par IA)

Références

Sources consultées pour cet article :

・Wikipedia: Flexagon

・The Public Paperfolding History Project: History of Hexaflexagons

・Conrad & Hartline (1962) — Flexagons, Erik Demaine's archive

Conclusion — Une porte vers les mathématiques née d'une chute de papier

Les chutes de papier de 1939 auraient facilement pu être jetées. Mais quelqu'un les plia, des amis se joignirent à lui, d'autres consignèrent l'histoire. Ces trois éléments sont peut-être ce qui fait durer un jeu.

Ce que l'histoire montre ici est clair : les mathématiques ne naissent pas seulement de grands instruments. Elles peuvent commencer avec une feuille qui n'entrait pas dans un classeur.

Y a-t-il aussi une chute de papier sur votre bureau ? Essayez de la plier une fois.

Un hexagone de papier posé sur un bureau (illustration, générée par IA)