马的巡游(约 840 年) — 抽走胜负的国际象棋,如何成为诗与数学

引言 — 每个格子,恰好一次

这是一种在棋盘上进行的游戏,记录可追溯到九世纪。放一枚马,移动它,恰好经过棋盘全部 64 格各一次。这就是马的巡游(骑士巡游)。

马的走法是横走一格、竖走两格,或反过来。仅凭这一走法,就能铺出一条经过整个棋盘的路径。终点回到起点的称为闭合巡游,否则称为开放巡游。

它与国际象棋的胜负无关,只是借用棋盘和棋子的单人寻路谜题。

一条线走遍棋盘的意象(意象图・AI 生成)

那个时代的背景 — 840 年前后的巴格达与印度的诗

可确认的最早例子可追溯到九世纪前后。在棋史学家默里的研究中,阿拉伯语棋书中的巡游属于最古老的一批,署名为阿尔-阿迪利(约 840 年)。原书已佚,靠后来的抄本流传。

印度也有早期例子。诗人鲁德拉塔的《Kavyalankara》(约 900 年)把半个棋盘上的巡游写成名为“马的步伐”的诗歌技巧:每格放一个音节,按马步读,就读出另一首诗。

所以这个问题并非生于数学,而是生于棋戏与文字游戏。17 世纪前后,印度文献(巴特·尼拉康塔)还给出了对称的闭合巡游。年代细节因资料而异。

走半个棋盘的古老巡游(意象图・AI 生成)

机制 — 先填满死胡同

马每走一步就换一次格子的颜色。所以回到起点的 64 步闭合巡游,只有在格数为偶数时才可能。

难点在角和边。角上只有 2 个去处,中央最多 8 个。把边留到后面,后面就会无路可走。

1759 年,数学家欧拉讨论了这个问题。论文写于 1758 年,1759 年宣读,1766 年刊于《柏林科学院纪要》第 15 卷(E309)。1823 年,瓦恩斯多夫给出一条简单的经验法则:在可跳到的格子中,选出从那里出路最少的一格。

这条法则不是必然成功的解法,但手算很实用。思路是先处理最可能变成死胡同的格子。

各格的去处数:角为 2,中央为 8(图解・AI 生成)

现代的谱系 — 计数、规律与小说

进入 20 世纪,问题从“能不能做出来”转向“有多少种”“哪些棋盘可行”。1991 年,施文克证明了哪些尺寸的棋盘存在闭合巡游。1997 年,帕伯里给出了即使棋盘很大也能快速构造巡游的方法。

计数也有进展。8×8 棋盘上,区分方向的闭合巡游有 26,534,728,821,064 种。不区分方向则为 13,267,364,410,532 种,由麦凯于 1997 年确认。勒宾与韦格纳 1996 年的数值与此不同。

它也进入了文学。乔治·佩雷克在小说《人生拼图版》中,用 10×10 棋盘上的巡游来安排章节顺序。

现代“每格恰好经过一次”的谜题看起来像是它的远亲。但我没有找到设计者说自己受马巡游启发,因此不断言存在谱系。

跨越千年的年表(意象图・AI 生成)

参考文献

本文参考的资料:

・Wikipedia(英): Knight's tour

・George Jelliss: Early History of Knight's Tours(Mayhematics)

・Euler Archive: E309

・Wikipedia(英): Al-Adli

※ 最早的年代因资料而异(约 840 年、约 900 年)。瓦恩斯多夫、施文克、帕伯里、麦凯、佩雷克的条目依据上述 Wikipedia,未核对原论文。

结语 — 借来的棋盘,成了数学

马的巡游,是从国际象棋中抽走胜负后剩下的游戏。诗人与抄写者乐在其中,后来欧拉把它当作数学问题来处理。

在我看来,这个游戏表明游戏与数学之间没有隔墙。解题的人、计数的人、写小说的人,站在同样的 64 格之上。

回到起点的闭合巡游(意象图・AI 生成)